En este subproyecto proponemos tres líneas de investigación. La primera se centra en la convergencia e implementación de los así llamados métodos SAFERK (Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta). Esta familia uniparamétrica de métodos provee métodos RungeKutta con el mismo orden que los métodos clásicos RAdau IIA del mismo número de etapas implícitas, mientras que poseen menores coeficientes de error. El parámetro libre de la familia se puede seleccionar para minimizar coeficientes de error o maximizar el amortiguamiento de las componentes rígidas del problema en consideración. Los métodos admiten una implementación adaptativa como en los perfeccionados códigos RADAU5 y RADAU, basados en los métodos Radau IIA. De hecho, esta familia de métodos ha demostrado ser competitiva respecto a otros métodos numéricos estándar en la integración numérica de sistemas rígidos y Ecuaciones Diferenciales Algebraicas, esto es, ecuaciones diferenciales dotadas de restricciones algebraicas. Ahora pretendemos extender el análisis de convergencia a grandes sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones Diferenciales Algebraicas provenientes de la discretización espacial de Ecuaciones en Derivadas Parciales y Ecuaciones en Derivadas Parciales Algebraicas, respectivamente, por medio del Método de Líneas. Particularmente interesante es el fenómeno de reducción de orden asociado a las condiciones de frontera dependientes del tiempo, y es es un objetivo clave de esta primera línea de investigación el describir cómo los métodos SAFERK se ven afectados por tales condiciones de frontera (bien de tipo Dirichlet o de tipo Neumann) en comparación con los métodos de la familia Radau IIA. La segunda línea de investigación está dedicada a la integración temporal de ecuaciones diferenciales que surgen de la discretización espacial de ecuaciones en derivadas parciales en varias dimensiones espaciales considerando las clases de ROW- y W-métodos en combinación con la Factorización Matricial Aproximada. En particular, estaremos interesados en obtener pares de tales métodos a efectos de estabilizar algunos pares de métodos Runge-Kutta explícitos bien conocidos que han sido ampliamente utilizados en la integración numérica de problemas rígidos o moderadamente rígidos, como los pares de Bogachi y Shampine (de órdenes 2 y 3) o el de Dormand y Prince (de órdenes 4 y 5). Estos pares han sido considerados para producir códigos comerciales en Matlab y son los integradores base de los códigos ode23 y ode45 en Matlab, respectivamente. Sin embargo, tales códigos no pueden tratar problemas rígidos debido a su naturaleza explícita. En consecuencia, es nuestro objetivo obtener W-métodos eficientes que extiendan pares de métodos Runge-Kutta explícitos a efectos de hacerlos adecuados a través de estabilización para la integración temporal de grandes sistemas rígidos. Exploraremos pares eficientes de W-métodos no sólo estudiando estabilidad sino también tratando de evitar el fenómeno de reducción de orden debido a condiciones de frontera dependientes del tiempo. Finalmente, en la tercera línea de investigación exploraremos el uso de W-métodos para la integración temporal de Ecuaciones en Derivadas Parciales parabólicas en los que aparecen derivadas de segundo orden mixtas. Estos problemas surgen en una gran variedad de aplicaciones, aunque nosotros nos centraremos en modelos prácticos de la matemática financiera (modelos de Heston).
In this subproject we propose three lines of research. The first one focuses on the convergence and implementation of the so-called SAFERK methods (standing for Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta). These one-parameter family of methods provides Runge-Kutta methods with the same order as the classical Radau IIA methods for the same number of implicit stages, while providing smaller error coefficients. The free parameter of the family can be selected in order to either minimize error coeficients or maximize damping for the stiff components of the differential problem under consideration. The methods allow an analogous adaptive implementation as it is done in the perfected stiff codes RADAU5 and RADAU, based on the Runge-Kutta-Radau IIA methods. In fact, this family of methods has proved to be competitive to other state-of-the-art numerical methods for the numerical integration of stiff systems and Differential Algebraic Equations, that is, differential equations which are also endowed with algebraic constrainst. We now intend to extend the convergence analysis to large systems of Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations coming from the spatial discretization of Partial Differential Equations and Partial Differential-Algebraic Equations, respectively, by means the Method of Lines. Particularly interesting is the order reduction phenomenon associated to time dependent boundary conditions, and it is key goal of this first line of research to describe how SAFERK methods are affected by such boundary conditions (either of Dirichlet or Neumann type) in comparison to methods of the Radau IIA family. The second line of research is devoted to the time integration of differential equations arising in the spatial discretization of partial differential equations in several spatial dimensions by considering the classes of ROW- and W-methods in combination with the Approximate Matrix Factorization. In particular, we will be interested in deriving pairs of such methods in order to stabilize some wellknown pairs of explicit Runge-Kutta methods which have been extensively used in the numerical integration of non-stiff or mildly stiff problems, like the pairs by Bogacki and Shampine (with orders 2 and 3) or by Dormand and Prince (with orders 4 and 5). These pairs have been considered in order to produce commercial codes in Matlab and are the base integrators of the codes ode23 and ode45 in Matlab, respectively. However such codes cannot cope with very stiff problems due to their explicit nature. Hence, we aim at obtaining efficient Wmethods extending relevant pairs of explicit Runge-Kutta so as to make them suitable through stabilization for the time integration of very large stiff systems. Efficient pairs of W-methods will be explored not only looking at the stability issues, but also at avoiding the order reduction phenomenon for time dependent boundary conditions. Finally, in the third line of research we will explore the use of W-methods for the time integration of parabolic Partial Differential Equations where mixed second order derivatives are present. These problems arise in a number of applications, although we will concentrate in practical models from financial mathematics (Heston models).