MTM2016-80659-P. Singularidades: discriminantes y valoraciones. Aplicaciones. (SinDisVal)

Este proyecto es la evolución de la investigación desarrollada en el ámbito del equipo de investigación, que comparte, además de unos objetivos científicos comunes, una formación y metodología común. La calidad y coherencia a lo largo del tiempo del equipo viene avalada por los sucesivos resultados alcanzados en la materia en el seno de proyectos de investigación que han sido financiados en convocatorias nacionales y con sede en Valladolid dirigidos por A. Campillo y F. Delgado. El objetivo global es obtener avances significativos en la resolución de algunos problemas que tienen un alto impacto científico-técnico en el campo de las matemáticas. Estos problemas son: – Profundizar en el estudio de las valoraciones como objeto clave para tratar de resolver el problema de resolución de singularidades de variedades algebraicas en característica positiva, y como fuente de información sobre la geometría local y global de las variedades algebraicas. Estudiar la topología de los espacios de valoraciones, principalmente en dimensión dos. – Estudio del lugar discriminante y de los puntos críticos para un germen de aplicación y de su interacción con las singularidades definidas por las componentes de la aplicación.

• Estudio del poliedro de Newton del discriminante en situaciones no genéricas y su relación con importantes invariantes de la singularidad de las aplicaciones.
• Estudio de polares de orden superior y de los diagramas de Newton jacobianos aproximados.
• Invariantes discretos de curvas planas en característica positiva.
• Códigos sobre superficies.

Dentro de los grandes problemas anteriores, algunos de nuestros objetivos concretos, en los que esperamos hacer contribuciones, son:

• Estudiar el tipo topológico de las valoraciones centradas en un punto y comprobar si determina el tipo de homotopía de las valoraciones reales, en dimensión arbitraria.
• Generalizar los resultados de Dickenstein y Sessa y Casas-Alvero sobre las polares de orden superior para curvas reducidas k-regulares y para singularidades casi-ordinarias.
• Generalizar los resultados ya obtenidos por el grupo sobre los polígonos de Newton jacobianos aproximados a (1) una curva reducida, (2) una singularidad casi-ordinaria, (3) una foliación (problema de tesis de N. E. Saravia Molina) y (4) curvas en característica positiva.
• Estudio del número de Milnor y del exponente de Lojasiewicz en característica positiva.
• Construcción de códigos sobre superficies.

Las publicaciones del equipo (muchas en revistas prestigiosas), el trabajo personal, el contacto con expertos nacionales e internacionales (favorecido, en su caso, por la concesión de este proyecto) y un buen plan de trabajo y de difusión de resultados permitirá (así lo esperamos) un alto grado de consecución de nuestros objetivos. En valoraciones trabajarán de Felipe, García y Teissier. En los discriminantes de morfismos trabajarán García y Teissier. En polares superiores y jacobianos aproximados trabajarán García y Gwozdziewicz y en su vertiente de foliaciones la doctorando N.E. Saravia Molina. En invariantes discretos trabajarán de Felipe y García (colaborando A. Ploski). En códigos sobre superficies trabajarán Márquez y García.

This project is the evolution of the research conducted for the research team, whose members share common scientific objectives, training and common methodology. The quality and consistency over time of the team is supported by successive research results obtained in the frame of national projects coordinated by A. Campillo y F. Delgado. The overall objective is to achieve significant advances in solving some problems that have a high scientific and technological impact in the field of Mathematics. These problems are:

• Further study of the valuations as key object to solve the problem of resolution of singularities of algebraic varieties in positive characteristic, and as a source of information on local and global geometry of algebraic varieties. Study the topology of spaces of valuations, mainly in dimension two.
• Study of the discriminant place and the critical points for a germ application and its interaction with singularities defined by the components of the map.
• Study of the Newton polyhedron of the discriminant in no generic situations and their relationship to important invariants of the singularity of maps.
• Study of higher order polars and approximate Jacobian Newton diagrams. – Discrete invariants of plane curves in positive characteristic.
• Codes on surfaces.

Within the large above problems, some of our specific objectives, which we hope to make contributions, are:

• Study the topological type of valuations centered on a point and check if it determines the homotopy type of real valuations, in any dimension.
• To generalize the results of Dickenstein and Sessa and Casas-Alvero on higher order polars to k-regular reduced curves and to quasiordinary singularities.
• To generalize the results already obtained by the group on approximate Jacobian Newton polygons to (1) a reduced curve, (2) a quasiordinary singularity, (3) a foliation (thesis problem of Saravia Molina) and (4 ) curves in positive characteristic.
• Study of the Milnor number and the exponent of Lojasiewicz in positive characteristic.
• Construction of codes on surfaces.

From the publications of the team (many of them in prestigious journals), with our personal work, the contact with national and international experts (aided, if posible, by the granting of this project) and a good work plan and dissemination of results will allow a high level of achievement of our goals. De Felipe, García and Teissier will work on valuations and García and Teissier on discriminants of maps. García and Gwozdziewicz will work on higher order polars and approximate Jacobian Newton polygons and Saravia Molina on its foliations aspects. Finally de Felipe y García (in collaboration with A. Ploski) will work on discrete invariants. García y Márquez will work on codes on surfaces